0

למה לא ללמוד מתמטיקה?

שר החינוך, מר נפתלי בנט, יצא בקמפיין מתוקשר לעידוד תלמידי ישראל ללמוד מתמטיקה ברמה של 5 יח"ל. מי כמוני היה אמור לשמוח על כך?

אבל האמת היא שאני לא כל כך שמח. כמובן שהייתי רוצה שיותר תלמידי תיכון ילמדו מתמטיקה ברמה גבוהה. כמובן שאני גם משוכנע שהדבר יתרום ליכולתם להצליח בחייהם. הבעייה היא שלא די בלימודי מתמטיקה כדי להיות אדם שיהיה מסוגל להתמודד בהצלחה עם אתגרי העתיד.  לשם כך לא די להיות אדם בעל ידע במתמטיקה או בכל תחום אחר, אלא צריך להיות גם אדם בעל תכונות כמו חרות מחשבתית, סבלנות ובעיקר יכולת להבין שעולמנו הוא עולם הוא מאוד מורכב שבו פתרונות פשטניים וכוחניים לא פותרים בדרך כלל בעיות.

אני לא בטוח שמר בנט פועל באותה מידה של נחישות לכך שתלמידי ישראל ירכשו את התכונות הללו. למעשה, יש לי הרגשה שהוא ומפלגתו פועלים במידה מסויימת בכיוון ההפוך. למשל כאשר שרת המשפטים, חברת מפלגתו של בנט, משתלחת בבית המשפט העליון ומובילה מהלכים שמשמעותם כליאת אנשים ללא הליך תקין.

מר בנט אומר שהירידה במספר התלמידים שלומדים מתמטיקה ומדעים היא איום קיומי על מדינת ישראל. אני כמובן מסכים אתו לגבי כך, אבל אני חושב שזו לא הסיבה החשובה ביותר לעודד לימודי מתמטיקה ומדעים. סיבה חשובה הרבה יותר היא שההתעסקות במדע מעודדת חשיבה מקורית מצד אחד ובקורתית מהצד השני. חשיבה שמטילה ספק גם באמונותיו ודעותיו של החושב עצמו ותובעת להעמיד כל דבר במבחן מדוקדק של הגיון ונסיון אמפירי. הייתי שמח אם שר החינוך היה מבהיר שזו כוונתו, כי אחרת נראה שכוונתו היא רק למכור שוב סיסמאות ופתרונות קלים.

מודעות פרסומת
0

המתמתטיקה של הדמוקרטיה

מי אמר שדמוקרטיה היא דבר טוב? מי אמר שהרוב תמיד צודק? אולי עדיף שלטון יחיד של מנהיג שיוכל לקבל החלטות באופן מסודר ועקבי במקום כל הבלגן הזה? ואיך דמוקרטיה קשורה לבלוג על מתמטיקה?

כשצופים בשידורים מהכנסת שלנו או מבתי פרלמנט אחרים בעולם, מתקבל הרבה פעמים הרושם שמה שמתנהל שם דומה הרבה יותר לשוק או קרקס מאשר לתהליך תקין של ניהול מדינה. ישנם אנשים רבים שחושבים שאולי היה עדיף לאפשר למנהיג חזק אחד או לקבוצה קטנה של אנשים לנהל את המדינה, בלי שהם יצטרכו להתעסק כל הזמן בתככים פוליטיים. אין ספק שלדמוקרטיה, ובוודאי צעירה כמו שלנו, יש הרבה בעיות ומגרעות. אבל כמו שאמר המנהיג הבריטי ווינסטון צ'רצ'יל, כל שיטות השלטון האחרות כנראה גרועות אפילו יותר.

מקור המושג "דמוקרטיה" הוא ביוון העתיקה, או ליתר דיוק בעיר המדינה אתונה. למרות שפרושה של המילה ביוונית הוא "שלטון העם", הדמוקרטיה האתונאית הייתה רחוקה מלהיות שלטון של העם במובן המודרני. למעשה היה מדובר באספה של כמה אלפי גברים בני חורין, בני עשרים ומעלה שניהלו את ענייני עיר המדינה באמצעות קבלת החלטות על ידי הצבעה וקבלת הכרעת הרוב. ההחלטה של האתונאים לאמץ את השיטה הזאת לא הייתה מבוססת על שיקולים של צדק או מוסר. עובדה שלא הייתה להם כל בעיה להחזיק עבדים או למנוע זכות הצבעה מנשים. למעשה, הבחירה של האתונאים בדמוקרטיה נבעה מהבנה של עיקרון מתמטי שבזכותו הדמוקרטיה או בעצם ההכרעה באמצעות החלטת רוב היא אכן שיטה שמאפשרת קבלת החלטות טובות יותר.

העיקרון המתמטי שעליו מבוססת השיטה הדמוקרטית פועל כך: אם לוקחים קבוצה גדולה של אנשים ומבקשים מכל אחד מהם לבחור אפשרות אחת מתוך מספר קטן של אפשרויות, קיים סיכוי גבוהה מאד שהאפשרות שנבחרה על ידי רוב האנשים היא אכן האפשרות הטובה ביותר. הסיבה לכך היא שמספר הבוחרים גדול בהרבה ממספר האפשרויות לבחירה ולכן כל בחירה מייצגת את ממוצע תוצאת השיקולים השונים שעל פיהם הבוחרים החליטו מה לבחור.

כמובן שעל מנת שהשיטה הדמוקרטית תעבוד, חשוב להקפיד שהבוחרים יהיו בעלי דעה עצמאית המבוססת על שיקולים רלוונטיים. אז אולי הבעיה עם הדמוקרטיה שלנו היא שאנחנו לא דואגים מספיק שהתנאים האלה יישמרו? יכול מאוד להיות שכך הוא הדבר, אבל זה כבר באמת לא קשור למתמטיקה.

0

הצינור

יש לכם סמארטפון? כמובן שיש, למי היום אין? אתם בטח גם מצלמים תמונות באפליקצת המצלמה ואז משתפים אותן באינסטגרם או בפייסבוק או בווטסאפ, ואולי גם מוסיפים את המיקום שבו צולמה התמונה תוך שימוש במפות גוגל. האפליקציות בסמארטפון שלכם מדברות אחת עם השניה וזה מאוד טבעי ונוח. איך זה קשור למתמטיקה? קראו את הפוסט ותדעו.

מה ההבדל בין פיזיקאי למתמטיקאי? ביקשו מפיזיקאי ומתמטיקאי לתאר איך הם מרתיחים מים. הפיזיקאי אמר שהוא לוקח קומקום חשמלי, ממלא אותו במים, לוחץ על הכפתור ומחכה שהמים ירתחו. המתמטיקאי אמר שהוא עושה את אותו הדבר. אחר כך שאלו את הפיזיקאי והמתמטיקאי איך הם עושים תה. הפיזיקאי אמר שהוא שם תיון בכוס, מרתיח מים ומוזג את המים הרותחים על התיון. המתמטיקאי אמר שהוא שם תיון בכוס, לוקח את המים הרותחים מהשאלה הקודמת, ומוזג על התיון.

במתמטיקה כל ידע חדש מבוסס על ידע קודם, וכדי להוכיח שרעיון הוא תקף, צריך להראות שניתן לבסס אותו על ידע מתמטי קיים. על מנת להקל על עצמם לחשוב בצורה הזאת, מתמטיקאים חושבים בעזרת פונקציות. פונקציות, כמו שאולי למדתם כבר בבית הספר, הן בעצם תהליך שממפה קבוצה של נתונים לקבוצה אחרת של נתונים. אם להמשיך את המשל שבבדיחה, הרתחת מים היא פונקציה והכנת תה היא פונקציה אחרת. אבל אפשר לתאר את פונקציית הכנת התה כהרכבה של שתי פונקציות – הרתחת מים ומזיגת המים הרותחים לכוס עם התיון.

אחד התחומים שבהם צורת החשיבה הזאת שימושית במיוחד הוא בתחום מדעי המחשב. למעשה, תוכנית מחשב היא סדרה של פונקציות שכל אחת מהן לוקחת את התוצאה של הפונקציה הקודמת וממפה אותה לתוצאה חדשה. אבל לא תמיד פשוט להחליט איך לבצע את התהליך. האם לכתוב תוכנית אחת גדולה ומסובכת עבור כל חישוב שרוצים לבצע או לחלק את התהליך לכמה תוכניות פשוטות יותר, שכל אחת מהן מבצעת רק חלק מהחישוב?

בשנות ה-60 של המאה הקודמת, החליטו כמה מתמטיקאים ממעבדות בל בארצות הברית, לפתח מערכת הפעלה חדשה למחשבים. מערכת הפעלה היא מעין תוכנת על שמנהלת את הרצת התוכניות האחרות במחשב. מערכות ההפעלה שהיו מקובלות אז היו יקרות ומסורבלות והתאימו למחשבים ענקיים שתפסו חדרים שלמים. המפתחים של מערכת ההפעלה החדשה, שהם קראו לה "יוניקס", הבינו שהמחשבים הולכים ונעשים קטנים וזולים יותר ולכן נגישים ליותר ויותר אנשים. הם הבינו שצריך לפשט את מערכת ההפעלה כדי להקל על הפיתוח של יישומים למחשבים בתחומים רבים יותר ויותר. "יוניקס" הפכה למערכת הפעלה מוצלחת מאוד בזכות כמה רעיונות גאוניים של מפתחיה. אחד מהם הוא מה שנקרא pipe. או בעברית, "צינור".

צינורות מאפשרים ליישומים שונים להעביר ביניהם נתונים בלי לכתוב אותם לדיסק של המחשב, מה שמאפשר תקשורת מהירה ופשוטה ביניהם. היוצרים של "יוניקס" ראו בחזונם שרשרות של הרבה יישומים פשוטים ש-"מדברים" ביניהם בעזרת צינורות. מבחינה מתמטית מדובר בפעלה של הרכבת פונקציות, כלומר בשימוש בתוצאה של פונקציה אחת כנתון של פונקציה הבאה אחריה וכן הלאה. לא במקרה זהו בדיוק האופן שבו אתם משתמשים בסמארטפונים שלכם. גם ה- IOS  של אפל וגם האנדרואיד של גוגל הן "נכדות" של מערכת ההפעלה "יוניקס".

אז בכל פעם שאתם מפעילים מספר יישומים שונים בסמארטפון שלכם תוך שיתוף פעולה ביניהם, אתם מבצעים בעצם פעולה מתמטית של הרכבת פונקציות, וזאת בזכות העובדה שמתמטיקאים פיתחו את מערכת ההפעלה שהיתה "הסבתא", של מערכות ההפעלה של הסמארטפונים.

0

תוכיחו!

מושג ההוכחה, הוא אחד המושגים הכי מרכזיים במתמטיקה, אם לא ה… 

הוכחה מתמטית שונה במהותה מהוכחה משפטית או אפילו מהוכחה מדעית בתחומים אחרים כמו פיזיקה. בדרך כלל כשמבקשים ממישהו להוכיח טענה כלשהיא, מתכוונים שעליו לשכנע בצדקתו. ישנם כמובן מקרים לא מעטים שבהם אנשים השתכנעו שמשהו הוא נכון או צודק ועם הזמן הסתבר שהאמת היא שונה. טעיות כאלו קורות כל הזמן בתחום המשפט הפלילי למשל. אנשים חפים מפשע נשלחים לכלא או לחילופין אנשים שפשעו מזוכים בבית המשפט. לעומת זאת, כשמדובר בהוכחה מתמטית, אין מקום לטעות. אם היא אכן הוכחה מתמטית, היא מבססת אמת מוחלטת. זה נראה מרשים מאוד, אבל כפי שנראה למעשה מדובר בצמצום מושג ההוכחה המתמטית לתחום מאוד מוגדר שיש אומרים שמגדיר בעצם את המתמטיקה כולה.

כדי להבין במה מדובר, אפשר להשתמש בדוגמא של הוכחה מתמטית עתיקת יומין. הוכחה של הטענה שיש אין סוף מספרים ראשוניים, שמיוחסת לפילוסוף והמתמטקאי היווני אוקלידס.

מספר ראשוני הוא מספר שלם שמתחלק בלי שארית רק ב-1 ובעצמו. 3 הוא מספר ראשוני, וכך גם 5, 7 ו-31 . 27 לעומת זאת הוא לא מספר ראשוני כי הוא מתחלק גם ב-3 וב- 9 . כמובן שכל מספר זוגי ( חוץ מ- 2 ) הוא לא ראשוני כי הוא מתחלק ב-2.

טענה: ישנם אין סוף מספרים ראשוניים.

ההוכחה של אוקלידס לטענה הזאת היא פשוטה ואלגנטית: נניח שהטענה לא נכונה ויש רק מספר סופי של ראשוניים: p_1, \ldots, p_n. נסתכל במספר \ N = p_1 \cdot p_2 \cdots p_n + 1. ( כלומר המכפלה של כל המספרים הראשוניים שהנחנו שקיימים, פלוס 1 ). ברור שמספר זה לא מתחלק באף pi כי לכל  חלוקה כזאת השארית היא 1. על-כן, N אינו מתחלק באף מספר ראשוני, כלומר הוא בעצמו ראשוני. הנחנו שיש קבוצה סופית של מספרים ראשוניים, וגילינו מספר ראשוני נוסף.

הוכחה מהסוג הזה נקראת "הוכחה בדרך השלילה". הנחנו הנחה מסויימת והגענו ממנה למסקנה שסותרת את אותה הנחה עצמה. כתוצאה מכך אנחנו חייבים להסיק שההנחה איננה נכונה.

הוכחה מתמטית היא תהליך פורמלי שאין בו מקום לדעות, תחושות בטן או ניחושים. כל תורה מתמטית מבוססת על הנחות יסוד שנקראות "אקסיומות" ועל מערכת מושגים שמגדירים את הישויות שאליהן היא מתייחסת. התורה המתמטית מגדירה בעצם על בסיס האקסיומות ובאמצעות תהליכי הוכחה את היחסים בין הישויות האלה.

עד לתחילת המאה ה-20, פעלו כל המתמטיקאים מתוך הנחה שלתהליך ההוכחה המתמטית יכולות להיות רק שתי תוצאות: "נכון או לא נכון". אבל בשנת 1931 הוכיח הלוגיקן קורט גדל, שהנחה זו היא שגויה. במשפט שידוע בשם "משפט האי-שלמות של גדל", הוא הוכיח שבכל תורה מתמטית מספיק מורכבת, חייבות להכלל טענות שלא ניתן לקבוע אם הן נכונות או לא נכונות. גדל הוכיח את משפט האי-שלמות שלו על ידי כך שהראה כיצד ניתן לבנות טענות כאלה על בסיס של כל מערכת אקסיומות ומושגים מספיק מקיפה. הרעיון שעליו מבוססת ההוכחה של גדל מזכיר את "פרדוקס השקרן" – האם כאשר מישהו אומר, "אני משקר עכשיו", הוא אומר אמת או שקר?

אפשר לומר שהתהליך הפורמלי של ההוכחה המתמטית מגדיר בעצם מה זו מתמטיקה ומטיל מגבלות על מה שאפשר להבין באמצעותה. מסתבר שכדי לבטא את כל הרעיונות שאנחנו בני האדם יכולים לבטא, חייבים גם לשקר.

1

נפלאות הלא-כלום

יש משהו שכל מה שתגידו עליו יהיה נכון. אתם יכולים להגיד שהוא עגול, וזה יהיה נכון. אתם יכולים להגיד שהוא מרובע וזה יהיה נכון. אתם יכולים להגיד שהוא ענק ננס עם שבעים עיניים וחמישים לשונות שמעופף בעזרת כנפיים ממרשמלו, וגם זה יהיה נכון. הדבר הזה הוא הלא-כלום.

רגע, עכשיו רגע של עברית. "כלום" זה לא "לא כלום". "כלום" זה משהו. "לום" הוא הנבט הקנטנטן שבתוך החרצן של הזית, כלומר משהו מאוד קטן וחסר חשיבות. "לא כלום" זה אפילו לא זה. "לא כלום" זה שום דבר, אפס, נאדא. אז אם אמא שואלת את הילד שלה מה הוא עושה והוא רוצה להתמם בעברית צחה, הוא צריך לענות "לא כלום!", אבל אף ילד לא עונה ככה. אני יודע.

במתמטיקה, הלא-כלום הוא דווקא משהו מאוד חשוב ולא תמים בכלל. כשמשהו הוא מספיק חשוב למתמטיקאים, הם נותנים לו סימן משלו. את הלא-כלום מסמנים באות היוונית "Ф" ( "פי" עם פ' רפה ). אפשר לסמן אותו גם בסימון "{}" (סוגריים מסולסלים ריקים ) שזה בעצם הסימון של קבוצה ריקה. קצת מסובך להסביר למה הלא-כלום הוא קבוצה ריקה. אני אחזור לזה במאמר אחר בעתיד אחרי שנתחמם קצת. אז גם אספר לכם איך אפשר לעשות הכל, מהלא-כלום, עוד זוג של סוגריים מסולסלים ופסיק. תזכרו שהבטחתי.

בנתיים נחזור למה שכתבתי בפתיח, שכל טענה היא נכונה לגבי הלא כלום. למשל, אפשר לטעון שהקיפם של כל המעגלים שיש להם שלוש פינות  הוא באורך של בדיוק 1. בגלל שאין מעגלים כאלה בכלל ( למעגל אין פינות ), זה יהיה נכון. זה כמובן יהיה נכון באותה המידה לכל אורך היקף שנבחר. בעצם אנחנו אומרים שכל דבר שלא קיים יכול להיות בעל כל תכונה שנרצה.

הטענה הזאת עוררה ויכוח גדול בין המתמטיקאים בסוף המאה ה-19. היו שטענו שלא יכול להיות שלמשהו שלא קיים יהיו תכונות בכלל, והיו שטענו שהיות שמבחינה לוגית הטענה שכל תכונה היא נכונה עבור משהו שלא קיים היא תמיד אמת, צריך לקבל את זה אפילו שזה נראה מוזר. התוצאה של הוויכוח הזה היא תיקו, כלומר זו אחת השאלות שאין עליהן תשובה מתמטית.

מעניין לציין שכששואלים ילדים בגיל בית הספר היסודי, "מה יותר גדול מאלוהים", רובם עונים בטבעיות, "כלום" ( הם היו צריכים להגיד "לא-כלום" אבל כבר דיברנו על זה). לעומת זאת, ילדים יותר גדולים וכמובן מבוגרים מתקשים לענות על השאלה הזאת. כנראה שכשגדלים מתחילים להאמין ש-"כלום" זה לא תשובה. מה בדיוק זה אומר? אולי לא-כלום.