0

תוכיחו!

מושג ההוכחה, הוא אחד המושגים הכי מרכזיים במתמטיקה, אם לא ה… 

הוכחה מתמטית שונה במהותה מהוכחה משפטית או אפילו מהוכחה מדעית בתחומים אחרים כמו פיזיקה. בדרך כלל כשמבקשים ממישהו להוכיח טענה כלשהיא, מתכוונים שעליו לשכנע בצדקתו. ישנם כמובן מקרים לא מעטים שבהם אנשים השתכנעו שמשהו הוא נכון או צודק ועם הזמן הסתבר שהאמת היא שונה. טעיות כאלו קורות כל הזמן בתחום המשפט הפלילי למשל. אנשים חפים מפשע נשלחים לכלא או לחילופין אנשים שפשעו מזוכים בבית המשפט. לעומת זאת, כשמדובר בהוכחה מתמטית, אין מקום לטעות. אם היא אכן הוכחה מתמטית, היא מבססת אמת מוחלטת. זה נראה מרשים מאוד, אבל כפי שנראה למעשה מדובר בצמצום מושג ההוכחה המתמטית לתחום מאוד מוגדר שיש אומרים שמגדיר בעצם את המתמטיקה כולה.

כדי להבין במה מדובר, אפשר להשתמש בדוגמא של הוכחה מתמטית עתיקת יומין. הוכחה של הטענה שיש אין סוף מספרים ראשוניים, שמיוחסת לפילוסוף והמתמטקאי היווני אוקלידס.

מספר ראשוני הוא מספר שלם שמתחלק בלי שארית רק ב-1 ובעצמו. 3 הוא מספר ראשוני, וכך גם 5, 7 ו-31 . 27 לעומת זאת הוא לא מספר ראשוני כי הוא מתחלק גם ב-3 וב- 9 . כמובן שכל מספר זוגי ( חוץ מ- 2 ) הוא לא ראשוני כי הוא מתחלק ב-2.

טענה: ישנם אין סוף מספרים ראשוניים.

ההוכחה של אוקלידס לטענה הזאת היא פשוטה ואלגנטית: נניח שהטענה לא נכונה ויש רק מספר סופי של ראשוניים: p_1, \ldots, p_n. נסתכל במספר \ N = p_1 \cdot p_2 \cdots p_n + 1. ( כלומר המכפלה של כל המספרים הראשוניים שהנחנו שקיימים, פלוס 1 ). ברור שמספר זה לא מתחלק באף pi כי לכל  חלוקה כזאת השארית היא 1. על-כן, N אינו מתחלק באף מספר ראשוני, כלומר הוא בעצמו ראשוני. הנחנו שיש קבוצה סופית של מספרים ראשוניים, וגילינו מספר ראשוני נוסף.

הוכחה מהסוג הזה נקראת "הוכחה בדרך השלילה". הנחנו הנחה מסויימת והגענו ממנה למסקנה שסותרת את אותה הנחה עצמה. כתוצאה מכך אנחנו חייבים להסיק שההנחה איננה נכונה.

הוכחה מתמטית היא תהליך פורמלי שאין בו מקום לדעות, תחושות בטן או ניחושים. כל תורה מתמטית מבוססת על הנחות יסוד שנקראות "אקסיומות" ועל מערכת מושגים שמגדירים את הישויות שאליהן היא מתייחסת. התורה המתמטית מגדירה בעצם על בסיס האקסיומות ובאמצעות תהליכי הוכחה את היחסים בין הישויות האלה.

עד לתחילת המאה ה-20, פעלו כל המתמטיקאים מתוך הנחה שלתהליך ההוכחה המתמטית יכולות להיות רק שתי תוצאות: "נכון או לא נכון". אבל בשנת 1931 הוכיח הלוגיקן קורט גדל, שהנחה זו היא שגויה. במשפט שידוע בשם "משפט האי-שלמות של גדל", הוא הוכיח שבכל תורה מתמטית מספיק מורכבת, חייבות להכלל טענות שלא ניתן לקבוע אם הן נכונות או לא נכונות. גדל הוכיח את משפט האי-שלמות שלו על ידי כך שהראה כיצד ניתן לבנות טענות כאלה על בסיס של כל מערכת אקסיומות ומושגים מספיק מקיפה. הרעיון שעליו מבוססת ההוכחה של גדל מזכיר את "פרדוקס השקרן" – האם כאשר מישהו אומר, "אני משקר עכשיו", הוא אומר אמת או שקר?

אפשר לומר שהתהליך הפורמלי של ההוכחה המתמטית מגדיר בעצם מה זו מתמטיקה ומטיל מגבלות על מה שאפשר להבין באמצעותה. מסתבר שכדי לבטא את כל הרעיונות שאנחנו בני האדם יכולים לבטא, חייבים גם לשקר.

מודעות פרסומת